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开2次方可以手算,但开n(n>2)次方有手算的方法吗?



文章发布时间:2015/5/26 12:12:56



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如果你知道如何手工开平方,可能你会问为什么要用 20 去乘。那我们先说说这个 20 从何而来。

已知
只要不嫌麻烦,只要你愿意,以上步骤可以一直持续下去,直到达到你需要的精度为止……

以上,为传统按数位手工开方运算的基本步骤,优势是每“次”运算能精确的知道一位数字(跟除法很像有木有),但是运算量大,精度不高。(补充,其实如果你试过几次之后就会发现,在决定 b 的值时用那个差直接除以 a 的次数最高的那一项,基本可以决定 b 的值;甚至,当进行多次运算使得 a 位数增多之后,那个商的很多数位都是对的,所以如果最后要停下了,用那个商直接接在 a 的后面比单独写 b 会提高很多精度,只是我们将不知道具体在哪一位是正确的。)

手工开方运算中,经常用到的另一个技巧为“近似逼近”,尤其对于常见的开平方,两三次迭代运算的结果,精度就可以很高(而且结果是有理数)。继续举例子(2014 吧咋样):
2014=(a+b)^2,首先我们能够比较方便的确定整数a=44,于是:
2014=(44+b)^2=1936+88b+b^2
由于取近似值,b 相对于 44 很小,忽略高阶项,得到
2014\approx 1936+88b,从而 b=\frac{39}{44},故 \sqrt{2014}\approx 44\frac{39}{44};以该值为 a 继续运算可得到精度更高的结果(好吧,帮你算了44\frac{152529}{173800},误差8.5\times 10^{-7},需要注意的是这个近似不是最佳有理逼近,后者可以通过连分数得到)。

对于更高次的开方运算,方法相同。补充个例子,防止这一部分不切题。
2014=(12+b)^3=1728+3\times144b+3\times 12 b^2+b^3,简单起见,忽略所有高阶项(于是精度变差),从而 2014\approx1728+432b,故第一步的结果为 \sqrt[3]{2014}\approx 12\frac{143}{216},第二次迭代(过程不写了,知乎的数学公式不能用标记语言好蛋疼)的结果为 12\frac{1523540447}{2423592900},这个结果同真值之间的差异不到 9\times 10^{-5}

这种逼近的好处是,手算起来很方便有木有!运算量很少但精度比较高。不过需要注意的是,这个结果分布于真值两侧,而不像之前的手工算法,截断至某位所以偏小。缺陷是我们不容易得知具体的有效位数。

如果想要更快的收敛,上面的方法(虽然还可以)可能就不太符合极端的追求了,不过,更快的方法(各种迭代)基本都是针对计算机,而不是手算……鉴于此(其实是答主不想去翻书 了 XD),我们就到此为止吧 :)
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答友:笔算开立方怎么算?


答友:有一个很蠢很烦的办法:试
比如说求123的3次方根
因为4的3次方是64,5的3次方是125,所以根必然在4和5之间,个位是4
4.9的3次方是117.649,所以根必然在4.9到5之间,十分位是9
4.98^3约等于123.51,4.97^3约等于122.76,所以根必然在4.97到4.98之间,百分位是7
以此类推


花落菩提[10P]



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