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科学计算验证人力驱动自行车的时速能突破100英里吗?



文章发布时间:2015/5/26 13:38:52



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科学计算方式验证,人力驱动的自行车时速能突破100英里每小时吗?(2013-11-13)


《探索新闻》有一辆有能力突破时速100英里(约合161公里/小时)的自行车的详细信息。目前人力自行车最高速度记录是时速82英里,由山姆·惠廷厄姆保持。曾经打破速度记录的格拉尔米·欧伯利打算冲击这一纪录。

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新闻方面说这么多差不多了,接下来该是物理部分了。热衷理论研究的朋友可以仔细研究一下,看看通过计算的方式能不能肯定这一设想。

我们不妨假设单车受到的主要的力是空气阻力。在恒定速度下,自行车受到如下几个力的作用:

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让我们来分析下这些力。首先是重力,除了方向是向下的也就没什么好说的了。地面同时也给自行车一个垂直向上的力,也就是支持力,记作FN。这两个力是在竖直方向上的,由于竖直方向上的加速度是零,因此这两个力有着相同的大小。

在水平方向上存在着空气阻力,在一种物理模型中,空气阻力的大小正比于自行车速度的平方。它可以由下面这个式子表达:

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其他的几个参数包括空气密度(ρ),自行车截面积(A),阻力系数(C)。由于自行车是在匀速行驶,水平方向上的合力也一定是零。那么是什么力在相反的方向上作用在自行车上呢?准确的说,应该是地面给轮胎的摩擦力。想象一下你在冰面上迎着极强的逆风试图向前骑行,很有可能你会呆在原地纹丝不动,因为轮胎完全打滑。

如果假设有足够的摩擦力使得自行车能以这样的速度前进,那么唯一的限制因素就是人本身了。这个假设很说得通,因为摩托车可以轻松突破100英里(当然了摩托车更重,摩擦力也更大,因而会产生一些影响)。因而我不打算关心摩擦力,而是注意“来自自行车手的力”。这个力并没有出现在力的图示中,因为我们把自行车手当作是自行车的一部分。但事实上你不可能啥事也不干就能让自行车动起来,你还是得花一点力气。

因而在恒定速度的情况下,自行车手施加的力与空气阻力大小相等。但力并不是我想要的东西。假设在很小的一段距离里自行车以这个速度前进,这段距离记作s,在这个过程中自行车手施加的力记作Fc,这个力会对自行车系统做功,大小为:

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回忆一下功等于力乘以位移。但功也不是我想要的东西,我想要的是功率,功率的定义是:

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现在要去掉表达式里的时间。运动这段位移s需要多少时间?如果自行车以匀速前进,那么:

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如果我用这个式子替换前面那个式子里的时间,我会得到:

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现在我得到了一个不依赖于时间,而只取决于速度的功率的表达式。接下来我把空气阻力替换成自行车手施加的力:

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大概现在你能看出问题所在了。假设我现在尽全力在蹬一辆普通自行车,让它达到每秒15米的速度。如果我想要达到每秒30米呢?我没法蹬得更快,因为之前说过我已经竭尽全力了。现在唯一的选择就是降低其他项。

当然了,减小空气密度不算。(卖下萌,其实我可以去高海拔~)我只能想法减小截面积以及阻力系数了。那么我要将A和C的乘积减少多少呢?在最大速度下功率的表达式为:

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那么,如果速度要加倍,在相同的功率下,A与C新的乘积是多少呢?

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这意味着只是把速度翻倍就要把AC的乘积变为原来的1/8,那么你也能理解欧伯利为什么要把自行车设计成这个样子了吧。他这么设计主要有两个原因:第一,人成俯卧姿势,这样有助于减少截面积。第二,通过用一个塑料外壳将自行车包裹起来,整个空气动力学外形就改变了,这样就减小了阻力系数。

假设输出的最大功率是1000瓦。更新:1000瓦这个数据是怎么来的?这只是我的一个估算,以前计算人的功率是用的都是这个数字。维基百科上介绍说顶尖的自行车手能将功率提升至2000瓦,但只能维持很短一段时间。

那么在这个功率下最大速度是截面积和阻力系数乘积的怎样一个函数呢?为了能画出最大速度的图,我需要一个AC乘积的起始点。假设车手身体完全正直,手臂还张开,这可不是一个好姿势,因为这样截面积和阻力系数都会变大。但是在这种情况下我能有一个估值,为什么?因为这个姿势和跳伞运动员的姿势很相近。如果一个70kg的跳伞者的末端速度是时速120英里(每秒54米),那么这时空气阻力与重力大小相等。像这样:

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把空气的密度算作1.2kg/m3,那么跳伞者的AC值是0.392m2。

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这意味着如果要达到时速100英里,AC值必须要降低到0.02m2。现在取一个合适的C的值。维基百科列举了一些阻力系数的值:“流线型的形状”是0.04,“流线型的半形状”是0.09。我猜自行车的C值差不多是0.09附近。假设C是0.07,那么骑手的截面积就必须在0.285附近。假设骑手是个圆柱体,那么截面就是个半径30cm的圆,这个假设很合理。


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